12.9 作业

P268 例题讲解

题目：例 14.2.1

计算积分：

$$I = \int_L y^2 \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}y$$

其中 $L$ 分为两种情况：

1. 路径 $L_1$：圆周 $x^2 + y^2 = R^2$ 的上半部分，方向为逆时针方向（从点 $A(R, 0)$ 到点 $B(-R, 0)$）。
2. 路径 $L_2$：从点 $M(R, 0)$ 到点 $N(-R, 0)$ 的直线段。

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详细解答

我们分别计算这两条路径下的积分值，以此来观察积分结果是否与路径有关。

情形 1：沿上半圆周 $L_1$ 积分

1. 建立参数方程 对于圆心在原点的圆，最常用的参数是极坐标角度 $\theta$。

   • $x = R \cos \theta$
   • $y = R \sin \theta$ 由于是上半圆，且方向是逆时针（从右向左），角度 $\theta$ 的变化范围是从 $0$ 到 $\pi$。
   • 起点 $(R, 0)$ 对应 $\theta = 0$。
   • 终点 $(-R, 0)$ 对应 $\theta = \pi$。

2. 计算微分项 我们需要把 $\mathrm{d}x$ 和 $\mathrm{d}y$ 也换成关于 $\theta$ 的表达式：

   • $\mathrm{d}x = (R \cos \theta)' \, \mathrm{d}\theta = -R \sin \theta \, \mathrm{d}\theta$
   • $\mathrm{d}y = (R \sin \theta)' \, \mathrm{d}\theta = R \cos \theta \, \mathrm{d}\theta$

3. 代入积分式 将 $x, y, \mathrm{d}x, \mathrm{d}y$ 全部代入原式：

   $$\begin{aligned} I_1 &= \int_0^\pi \left[ \underbrace{(R \sin \theta)^2}_{y^2} \cdot \underbrace{(-R \sin \theta)}_{dx/\mathrm{d}\theta} + \underbrace{(R \cos \theta)^2}_{x^2} \cdot \underbrace{(R \cos \theta)}_{dy/\mathrm{d}\theta} \right] \mathrm{d}\theta \\ &= \int_0^\pi \left[ -R^3 \sin^3 \theta + R^3 \cos^3 \theta \right] \mathrm{d}\theta \\ &= R^3 \left( - \int_0^\pi \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta + \int_0^\pi \cos^3 \theta \, \mathrm{d}\theta \right) \end{aligned}$$

4. 计算定积分 我们分别计算这两个三角函数的积分：

   • 第一部分：$\int_0^\pi \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta$ 利用公式 $\sin^3 \theta = (1-\cos^2 \theta)\sin \theta$，令 $u = \cos \theta$，则 $\mathrm{d}u = -\sin \theta \mathrm{d}\theta$。 或者直接使用瓦里斯公式 (Wallis Formula) 的推广（注意区间是 $0$ 到 $\pi$，是对称的）： $\int_0^\pi \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$。
   • 第二部分：$\int_0^\pi \cos^3 \theta \, \mathrm{d}\theta$ 观察 $\cos^3 \theta$ 的图像，在 $[0, \pi]$ 上，$\cos \theta$ 关于 $\pi/2$ 中心对称（第一象限为正，第二象限为负，且绝对值相等）。 因此，积分值为 0。

   合并结果：

   $$I_1 = R^3 \left( - \frac{4}{3} + 0 \right) = -\frac{4}{3}R^3$$

情形 2：沿直线段 $L_2$ 积分

1. 建立参数方程 路径是在 $x$ 轴上，从 $(R, 0)$ 走到 $(-R, 0)$。

   • $y = 0$ （恒成立）
   • $x$ 从 $R$ 变到 $-R$。

2. 计算微分项

   • 由于 $y = 0$ 是常数，所以 $\mathrm{d}y = 0$。
   • $\mathrm{d}x$ 保持为 $\mathrm{d}x$。

3. 代入积分式

   $$I_2 = \int_L y^2 \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}y$$

   代入 $y=0$ 和 $\mathrm{d}y=0$：

   $$I_2 = \int_R^{-R} (0)^2 \, \mathrm{d}x + x^2 \cdot (0) = \int_R^{-R} 0 \, \mathrm{d}x = 0$$

结论：

• 沿上半圆周积分结果为 $-\frac{4}{3}R^3$。
• 沿直线段积分结果为 $0$。
• 注：这也说明了该积分与路径有关。

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题目：例 14.2.2

求空间中一质量为 $m$ 的物体沿某一光滑曲线 $L$ 从 $A$ 点移动到 $B$ 点时，重力所做的功。 （假设 $z$ 轴竖直向上，重力方向向下）

详细解答

这是一道物理应用题，实际上是考查第二类曲线积分的物理意义。

1. 分析力的向量 重力 $\mathbf{F}$ 的大小是 $mg$，方向指向 $z$ 轴负方向。 写成向量坐标形式：

   $$\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) = (0, 0, -mg)$$

2. 建立功的积分表达式 功 $W$ 是力在路径上的线积分：

   $$W = \int_L \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \int_L F_x \, \mathrm{d}x + F_y \, \mathrm{d}y + F_z \, \mathrm{d}z$$

   代入力的分量：

   $$W = \int_L 0 \cdot \mathrm{d}x + 0 \cdot \mathrm{d}y + (-mg) \, \mathrm{d}z = \int_L -mg \, \mathrm{d}z$$

3. 计算积分 设起点 $A$ 的坐标为 $(x_1, y_1, z_1)$，终点 $B$ 的坐标为 $(x_2, y_2, z_2)$。 积分变量仅剩下 $z$，这变成了一个简单的定积分：

   $$W = -mg \int_{z_1}^{z_2} \mathrm{d}z$$

   $$W = -mg [z]_{z_1}^{z_2} = -mg(z_2 - z_1)$$

   或者写作：

   $$W = mg(z_1 - z_2)$$

物理意义解读： 这说明重力做功只与起点和终点的高度差有关，与具体的移动路径无关（因为重力场是保守场）。如果 $z_1 > z_2$（物体下降），功为正；如果 $z_2 > z_1$（物体上升），功为负。

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题目：例 14.2.3

计算积分：

$$I = \int_L (y^2 - z^2) \, \mathrm{d}x + (z^2 - x^2) \, \mathrm{d}y + (x^2 - y^2) \, \mathrm{d}z$$

其中 $L$ 为球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 在第一象限部分的边界，当从球面外侧看时为顺时针方向。

详细解答

1. 分析路径 $L$ 题目描述的曲线 $L$ 是第一象限球面（即 $1/8$ 球面）的边界线。这个边界由三段位于坐标平面上的圆弧组成。 为了符合“从球面外侧看顺时针”的描述，我们可以画个图想象一下：

• 我们站在第一象限的球面上方往原点看。
• 路径顺次经过三个点：$A(1,0,0) \to B(0,1,0) \to C(0,0,1) \to A(1,0,0)$。
  • $L_1$ (在 $xy$ 平面)：从 $A(1,0,0)$ 到 $B(0,1,0)$。
  • $L_2$ (在 $yz$ 平面)：从 $B(0,1,0)$ 到 $C(0,0,1)$。
  • $L_3$ (在 $zx$ 平面)：从 $C(0,0,1)$ 到 $A(1,0,0)$。

我们将积分分成三部分计算：$I = I_1 + I_2 + I_3$。

2. 分段计算

第一段 $L_1$：在 $xy$ 平面上

• 条件：$z = 0$，因此 $\mathrm{d}z = 0$。
• 方程：$x^2 + y^2 = 1$ (第一象限弧)。
• 原积分简化：代入 $z=0, \mathrm{d}z=0$：

  $$I_1 = \int_{L_1} (y^2 - 0) \, \mathrm{d}x + (0 - x^2) \, \mathrm{d}y + 0 = \int_{L_1} y^2 \, \mathrm{d}x - x^2 \, \mathrm{d}y$$

• 参数化： 令 $x = \cos t, y = \sin t$。 $t$ 从 $0$ (点 A) 走到 $\frac{\pi}{2}$ (点 B)。 $\mathrm{d}x = -\sin t \, \mathrm{d}t$$\mathrm{d}y = \cos t \, \mathrm{d}t$
• 代入计算：

  $$\begin{aligned} I_1 &= \int_0^{\pi/2} [ (\sin^2 t)(-\sin t) - (\cos^2 t)(\cos t) ] \, \mathrm{d}t \\ &= - \int_0^{\pi/2} (\sin^3 t + \cos^3 t) \, \mathrm{d}t \end{aligned}$$

  利用公式 $\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx$，当 $n=3$ 时，值为 $\frac{2}{3}$。

  $$I_1 = - (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$$

第二段 $L_2$：在 $yz$ 平面上

• 条件：$x = 0$，因此 $\mathrm{d}x = 0$。
• 方程：$y^2 + z^2 = 1$。
• 原积分简化：代入 $x=0, \mathrm{d}x=0$：

  $$I_2 = \int_{L_2} 0 + (z^2 - 0) \, \mathrm{d}y + (0 - y^2) \, \mathrm{d}z = \int_{L_2} z^2 \, \mathrm{d}y - y^2 \, \mathrm{d}z$$

• 观察对称性： 这里的形式 $z^2 \mathrm{d}y - y^2 \mathrm{d}z$ 与 $L_1$ 中的 $y^2 \mathrm{d}x - x^2 \mathrm{d}y$ 结构完全一致，只是变量轮换了 ($x \to y, y \to z$)。 路径也是从轴上的 $1$ 到轴上的 $1$ 的四分之一圆弧。 因此，计算结果应当相同。

  $$I_2 = -\frac{4}{3}$$

第三段 $L_3$：在 $zx$ 平面上

• 条件：$y = 0$，因此 $\mathrm{d}y = 0$。
• 方程：$z^2 + x^2 = 1$。
• 原积分简化：

  $$I_3 = \int_{L_3} (0 - z^2) \, \mathrm{d}x + 0 + (x^2 - 0) \, \mathrm{d}z = \int_{L_3} -z^2 \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}z$$

• 注意符号：这里是 $-z^2 \mathrm{d}x + x^2 \mathrm{d}z$。 对比 $L_1$ 的 $y^2 \mathrm{d}x - x^2 \mathrm{d}y$。 这稍微有点不同（符号反了或者项的顺序变了）。让我们仔细参数化算一下以防万一。
• 参数化： $z = \cos t, x = \sin t$ （注意：是从 $C(0,0,1)$ 到 $A(1,0,0)$）。 起点 $C$: $t=0$ ($z=1, x=0$)。 终点 $A$: $t=\pi/2$ ($z=0, x=1$)。 $\mathrm{d}z = -\sin t \, \mathrm{d}t$$\mathrm{d}x = \cos t \, \mathrm{d}t$
• 代入：

  $$\begin{aligned} I_3 &= \int_0^{\pi/2} [ -(\cos^2 t)(\cos t) + (\sin^2 t)(-\sin t) ] \, \mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} [ -\cos^3 t - \sin^3 t ] \, \mathrm{d}t \\ &= - (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = -\frac{4}{3} \end{aligned}$$

  结果确实也是一样的。

3. 最终求和

$$I = I_1 + I_2 + I_3 = (-\frac{4}{3}) + (-\frac{4}{3}) + (-\frac{4}{3}) = -4$$

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P275 习题 1 讲解

题目 (1)

求积分：

$$I = \int_L (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}x + (x^2 - y^2) \, \mathrm{d}y$$

路径 $L$：顶点为 $A(1,0), B(2,0), C(2,1), D(1,1)$ 的正方形，方向为逆时针。

详细解答

正方形路径由四条直线段组成，我们必须分四段计算，然后相加。

(这里可以想象一个在第一象限的小正方形，底边在x轴上)

第 1 段 $AB$：从 $(1,0)$ 到 $(2,0)$

• 方程：$y = 0 \implies \mathrm{d}y = 0$。
• 范围：$x$ 从 $1$ 到 $2$。
• 代入：

  $$I_{AB} = \int_1^2 (x^2 + 0) \, \mathrm{d}x + 0 = \int_1^2 x^2 \, \mathrm{d}x$$

  $$I_{AB} = [\frac{x^3}{3}]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$

第 2 段 $BC$：从 $(2,0)$ 到 $(2,1)$

• 方程：$x = 2 \implies \mathrm{d}x = 0$。
• 范围：$y$ 从 $0$ 到 $1$。
• 代入： 注意 $\mathrm{d}x$ 项消失。

  $$I_{BC} = \int_0^1 (2^2 - y^2) \, \mathrm{d}y = \int_0^1 (4 - y^2) \, \mathrm{d}y$$

  $$I_{BC} = [4y - \frac{y^3}{3}]_0^1 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$$

第 3 段 $CD$：从 $(2,1)$ 到 $(1,1)$

• 方程：$y = 1 \implies \mathrm{d}y = 0$。
• 范围：$x$ 从 $2$ 到 $1$ （注意方向！下限是2，上限是1）。
• 代入：

  $$I_{CD} = \int_2^1 (x^2 + 1^2) \, \mathrm{d}x = \int_2^1 (x^2 + 1) \, \mathrm{d}x$$

  $$I_{CD} = [\frac{x^3}{3} + x]_2^1 = (\frac{1}{3} + 1) - (\frac{8}{3} + 2)$$

  $$I_{CD} = \frac{4}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{10}{3}$$

第 4 段 $DA$：从 $(1,1)$ 到 $(1,0)$

• 方程：$x = 1 \implies \mathrm{d}x = 0$。
• 范围：$y$ 从 $1$ 到 $0$。
• 代入：

  $$I_{DA} = \int_1^0 (1^2 - y^2) \, \mathrm{d}y = \int_1^0 (1 - y^2) \, \mathrm{d}y$$

  $$I_{DA} = [y - \frac{y^3}{3}]_1^0 = 0 - (1 - \frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$$

总和

$$I = I_{AB} + I_{BC} + I_{CD} + I_{DA} = \frac{7}{3} + \frac{11}{3} - \frac{10}{3} - \frac{2}{3}$$

$$I = \frac{7 + 11 - 10 - 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

结果：2

(进阶验证：使用格林公式 $\iint (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = \iint (2x - 2y) dxdy$，计算结果也是2。但初学阶段分段计算是基本功)

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题目 (3)

求积分：

$$I = \int_L \frac{(x+y)\mathrm{d}x - (x-y)\mathrm{d}y}{x^2 + y^2}$$

路径 $L$：圆周 $x^2 + y^2 = a^2$，逆时针方向。

详细解答

看到 $x^2 + y^2$，尤其是分母中出现，极坐标参数化是最佳选择。

1. 参数方程$x = a \cos t$$y = a \sin t$$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。

2. 准备代入项

   • 分母：$x^2 + y^2 = a^2$
   • 微分： $\mathrm{d}x = -a \sin t \, \mathrm{d}t$$\mathrm{d}y = a \cos t \, \mathrm{d}t$
   • 分子第一部分 $(x+y)\mathrm{d}x$： $= (a \cos t + a \sin t)(-a \sin t) \, \mathrm{d}t = -a^2 (\sin t \cos t + \sin^2 t) \, \mathrm{d}t$
   • 分子第二部分 $-(x-y)\mathrm{d}y$： $= -(a \cos t - a \sin t)(a \cos t) \, \mathrm{d}t = -a^2 (\cos^2 t - \sin t \cos t) \, \mathrm{d}t$

3. 合并分子 把上面两部分加起来：

   $$\text{Numerator} = -a^2 (\sin t \cos t + \sin^2 t) - a^2 (\cos^2 t - \sin t \cos t)$$

   提取 $-a^2$：

   $$= -a^2 (\sin t \cos t + \sin^2 t + \cos^2 t - \sin t \cos t)$$

   中间的 $\sin t \cos t$ 抵消了，$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$。

   $$= -a^2 (1) = -a^2$$

4. 代入积分

   $$I = \int_0^{2\pi} \frac{-a^2}{a^2} \, \mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} -1 \, \mathrm{d}t$$

   $$I = -2\pi$$

结果：$-2\pi$

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题目 (5)

求积分：

$$\int_L x \, \mathrm{d}x + y \, \mathrm{d}y + (x + y - 1) \, \mathrm{d}z$$

路径 $L$：从点 $A(1,1,1)$ 到点 $B(2,3,4)$ 的直线段。

详细解答

空间直线段积分，最标准的方法是使用向量式参数方程。

1. 建立直线的参数方程 起点 $A(1,1,1)$，终点 $B(2,3,4)$。 方向向量 $\vec{v} = B - A = (2-1, 3-1, 4-1) = (1, 2, 3)$。 令参数 $t$ 从 $0$ 到 $1$：

   • $x = 1 + 1\cdot t = 1 + t$
   • $y = 1 + 2\cdot t = 1 + 2t$
   • $z = 1 + 3\cdot t = 1 + 3t$

2. 计算微分项

   • $\mathrm{d}x = \mathrm{d}t$
   • $\mathrm{d}y = 2 \, \mathrm{d}t$
   • $\mathrm{d}z = 3 \, \mathrm{d}t$

3. 代入积分式 我们要计算三项之和：

   • 第1项 $x \, \mathrm{d}x \to (1+t) \, \mathrm{d}t$
   • 第2项 $y \, \mathrm{d}y \to (1+2t) \cdot 2 \, \mathrm{d}t = (2+4t) \, \mathrm{d}t$
   • 第3项 $(x+y-1) \, \mathrm{d}z$： 先算括弧里的：$(1+t) + (1+2t) - 1 = 1 + 3t$ 再乘 $\mathrm{d}z$：$(1+3t) \cdot 3 \, \mathrm{d}t = (3+9t) \, \mathrm{d}t$

4. 合并并积分

   $$\begin{aligned} I &= \int_0^1 [ (1+t) + (2+4t) + (3+9t) ] \, \mathrm{d}t \\ &= \int_0^1 [ (1+2+3) + (1+4+9)t ] \, \mathrm{d}t \\ &= \int_0^1 (6 + 14t) \, \mathrm{d}t \end{aligned}$$

   计算定积分：

   $$I = [6t + 7t^2]_0^1 = (6 \times 1 + 7 \times 1^2) - 0 = 6 + 7 = 13$$

结果：13

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参数化小结

参数化是解题的关键。

• 圆/椭圆：优先用正弦/余弦参数 ($t$ 或 $\theta$)。
• 直线段：优先用向量式参数 ($x = x_0 + at$)。
• 函数曲线 ($y=f(x)$)：直接把 $x$ 当参数。